ว่าที่ร้อยตรีหญิงเพ็ญนภา กองขุนทด
โรงเรียนปทุมคงคา สมุทรปราการ
สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษาเขต 6
หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 เรื่อง จำนวนจริง
จำนวนจริง
จำนวนจริง ( Real Numbers ) ประกอบด้วย จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ
1) จำนวนตรรกยะ (Rational Numbers) คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้เมื่อเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม และ “ส่วนมีค่าไม่เท่ากับ 0 ” ได้แก่ จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยมซ้ำ
1.1) จำนวนเต็ม (Integer Numbers) คือ จำนวนที่ไม่มีเศษส่วน และทศนิยมรวมอยู่ในจำนวนนั้น ประกอบด้วย
1.1.1) จำนวนเต็มบวก ( I+ )หรือจำนวนนับ คือ จำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 ไปเรื่อย ๆ โดยที่ไม่สามารถระบุได้ ว่าจำนวนนับตัวสุดท้ายเป็นอะไร จำนวนนับเริ่มต้นที่ 1 , 2 , 3, ... ซึ่งเราทราบแล้วว่า จำนวนนับที่น้อยที่สุด คือ 1 จำนวนนับที่มากที่สุดหาไม่ได้
1.1.2) จำนวนเต็มศูนย์ สมาชิกมีเพียงจำนวนเดียวคือ 0 ศูนย์เป็นจำนวนเต็มอีกชนิดหนึ่ง ที่เราไม่ถือว่าเป็น จำนวนนับจาก
หลักฐานที่ค้นพบทำให้เราทราบว่ามนุษย์รู้จักใช้สัญลักษณ์ "0" ในราวปี ค.ศ. 800 โดยที่ "0" แทนปริมาณของการไม่มีของหรือของที่ต้องการ
กล่าวถึงแต่ก็ไม่ใช่ว่า 0 จะไม่มีความหมายถึงการไม่มีเสมอไป ตัวอย่าง เช่น ระดับผลการเรียนทางด้านความรู้ โดยนักเรียนที่มีระดับผลการเรียนเป็น 0 ไม่ได้หมายความว่านักเรียนคนนั้นไม่มีความรู้ เพียงแต่ว่ามีความรู้ในระดับหนึ่งเท่านั้น
1.1.3) จำนวนเต็มลบ ( I-) คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า ศูนย์ มีตำแหน่ง อยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์เมื่ออยู่บนเส้น จำนวนและจะมีค่าลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่สามารถจะบอกได้ว่าจำนวนใดจะมีค่าน้อยที่สุด แต่เราสามารถรู้ได้ว่าจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1
สรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้
1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวนก็คือ เป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือ ของศูนย์
2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1
3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ถ้ายิ่งมีค่ามากขึ้น จำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลงกล่าวคือ ...-5 < -4 < -3
< -2 < -1
1.2) เศษส่วน หมายถึง ส่วนหนึ่งๆ ของจำนวนทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นส่วนๆ เท่าๆ กัน เช่น เป็นต้น
1.3) ทศนิยมซำ้ คือ การหารเศษส่วนที่ไม่ลงตัวจะซ้ำกันไปเรื่อย ๆอาจจะซ้ำตำแหน่งเดียว สองตำแหน่งหรือ
สามตำแหน่ง ซึ่งเราเรียก ทศนิยมนี้ว่า ทศนิยมซ้ำ
เช่น กรณีซ้ำ 1 หลัก
กรณีซ้ำ 2 หลัก
กรณีซ้ำ 3 หลัก
2) จำนวนอตรรกยะ (Irrational number) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำ หรือเศษส่วน เมื่อ a , b เป็นจำนวนเต็ม b และสามารถกำหนดค่าประมาณได้ เช่น
π = 3.14159265… มีค่าประมาณ 3.142
ทศนิยมที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำ เช่น 0.1010010001…,6.808808880…,1.2345678910111213…, เป็นต้น
ข้อควรรู้
1. ถ้าจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ แล้วจำนวนตรงข้ามกับจำนวนนั้นจะเป็นจำนวนอตรรกยะด้วย เช่น เป็น จำนวนอตรรกยะ จะได้ว่าจำนวนตรงข้ามของ คือ – เป็นจำนวนอตรรกยะด้วยเช่นกัน ,π เป็นจำนวนอตรรกยะ จะ
ได้ว่าจำนวนตรงข้ามของ π คือ –π เป็นจำนวนอตรรกยะด้วยเช่นกัน
2. จำนวนอตรรกยะ มีสมบัติปิดสำหรับการบวก นั่นคือถ้านำจำนวนอตรรกยะมาบวกกัน ค่าทีได้จากการบวก
จะเป็นจำนวนอตรรกยะเหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น π+π = 2π ซึ่ง 2π เป็นจำนวนอตรรกยะ
สมบัติของจำนวนจริง
เนื่องจากว่า สมบัติของจำนวนจริงมีเยอะมาก ในที่นี้จะนำเสนอเฉพาะที่คิดว่าสำคัญแล้วกันนะครับ
ถ้าให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว จะได้ว่าจำนวนจริงจะมีสมบัติดังต่อไปนี้
1. สมบัติปิดการบวก: a+ b จะต้องเป็นจำนวนจริงเสมอ
2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก: a + (b + c) = (a + b) + c
3. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก: a + 0 = a = 0 + a โดยที่เราเรียก 0 ว่าเอกลักษณ์ของการบวก
4. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก: a + (-a) = 0 = (-a) + a โดยที่ (-a) เป็นอินเวอร์สการบวกของ a
5. สมบัติปิดของการคูณ: a คูณ b หรือ ab จะต้องมีผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงเสมอ
6. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ: a(bc) = (ab) c
7. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ: a x 1 = a = 1 x a โดยที่เราเรียก 1 ว่าเอกลักษณ์ของการคูณ
8. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ: a a-1 = 0 = a-1 a โดยที่ a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณของ a
9. สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: a(b + c) = ab + ac
นอกจากสมบัติของจำนวนจริงแล้ว เรายังมีทฤษฎีบทเบื้องต้นสำหรับจำนวนจริงด้วย ในทำนองเดียวกับสมบัติของจำนวนจริง จะขอนำเสนอเฉพาะส่วนที่คิดว่าสำคัญเท่านั้นนะครับ
ถ้าให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า
1. ถ้า a+c = b+c แล้ว a = b
2. ถ้า c ไม่เท่ากับศูนย์ และ ac =ab แล้ว a = b
3. เมื่อ c > 0 แล้วจะได้ว่า
(1) ถ้า a > b แล้ว ac > bc
(2) ถ้า a < b แล้ว ac < bc
(3) ถ้า ac > bc แล้ว a > b
(4) ถ้า ac < bc แล้ว a < b
4. เมื่อ c < 0 แล้วจะได้ว่า
(1) ถ้า a > b แล้ว ac < bc
(2) ถ้า a < b แล้ว ac > bc
(3) ถ้า ac > bc แล้ว a < b
(4) ถ้า ac < bc แล้ว a > b
5. ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
6. ถ้า a < b และ c < d แล้ว a – d < b - c